Vorwort
1 Didaktik des Mathematikunterrichts Die Berufswissenschaft von Mathematiklehrkräften 13
1.1 Bezüge zu anderen Wissenschaften 17
1.2 Gegenstände der Mathematikdidaktik 18
2 Funktionen und Ziele des Mathematikunterrichts 21
2.1 Funktionen des Mathematikunterrichts 27
2.2 Ziele des Mathematikunterrichts 32
2.2.1 Zum Zielbegriff 32
2.2.2 Zur Strukturierung von Zielen des Mathematikunterrichts 35
2.2.3 Weitere Strukturierungsmöglichkeiten von Zielen des Mathematikunterrichts 40
2.2.4 Planungsebenen 42
3 Aufgaben im Mathematikunterricht 47
3.1 Allgemeine Probleme 47
3.2 Arten mathematischer Schüleraufgaben 50
3.3 Differenziertes Arbeiten mit Aufgaben 56
3.3.1 Zur inneren Differenzierung des Unterrichts 56
3.3.2 Differenziertes Arbeiten mit Aufgaben 58
3.4 Problemhafte Aufgaben 59
3.4.1 Allgemeine Bemerkungen 59
3.4.2 Grundlagen aus der Heuristik 60
4 Motivierung und Zielorientierung 65
4.1 Grundlagen der Motivierung und Zielorientierung 65
4.1.1 Motivierung 65
4.1.2 Zielorientierung 69
4.2 Möglichkeiten der Motivierung und Zielorientierung durch Angabe von Gründen und Aufwerfen von Problemen 72
4.3 Motivierung mit Elementen der Unterhaltungsmathematik 76
4.4 Möglichkeiten zur Langzeitmotivierung 77
4.5 Historische Betrachtungen im Mathematikunterricht 79
4.6 Wiederholung und Reaktivierung 83
5 Aneignen von mathematischen Begriffen 85
5.1 Vorbemerkungen 85
5.2 Grundlagen aus anderen Wissenschaften 87
5.3 Grundlagen der Erarbeitung und Festigung von Begriffen 94
5.3.1 Begriffsarten 94
5.3.2 Definieren von Begriffen 95
5.3.3 Planung von Lernprozessen zur Aneignung von Begriffen 98
5.4 Vorgehensweisen zum Erarbeiten von Begriffen 99
5.4.1 Bilden von Beispielen und Gegenbeispielen 100
101 5.4.2 Induktives Vorgehen 101
5.4.3 Konstruktives Vorgehen 105
5.4.4 Deduktives Vorgehen 108
5.4.5 Hinweise zum Einsatz der Vorgehensweisen 109
5.5 Möglichkeiten zum Festigen und Vertiefen von Begriffen 111
5.5.1 Identifizieren von Begriffen 113
5.5.2 Realisieren von Begriffen 115
5.5.3 Weitere Möglichkeiten zum Festigen und Vertiefen von Begriffen 116
6 Aneignen von mathematischen Zusammenhängen 119
6.1 Theoretische Grundlagen 119
6.1.1 Arten von mathematischen Zusammenhängen 119
6.1.2 Grundlagen aus der Logik 121
6.2 Ziele und Möglichkeiten der Erarbeitung von Zusammenhängen 123
6.2.1 Ziele des selbstständigen Findens eines Zusammenhangs 123
6.2.2 Möglichkeiten des Findens von Zusammenhängen 124
6.3 Festigen von Zusammenhängen 130
7 Ausbilden von Fertigkeiten 135
7.1 Gedächtnis- und lernpsychologische Grundlagen der Ausbildung von Fertigkeiten 136
7.2 Gestaltung der Phasen zur Ausbildung von Fertigkeiten 145
7.2.1 Vorbereitende Überlegungen der Lehrkraft 145
7.2.2 Phasen der Ausbildung von Fertigkeiten 148
8 Gestalten von Übungsprozessen 153
8.1 Bedeutung, Formen und Prinzipien der Übungsgestaltung 153
8.2 Möglichkeiten zur Variation des Anforderungsniveaus 160
8.3 Möglichkeiten zur vielseitigen Gestaltung von Übungen 164
9 Lösen von Sachaufgaben 169
9.1 Vorbemerkungen 169
9.1.1 Zum Anwenden im Mathematikunterricht 169
9.1.2 Zum Modellieren im Mathematikunterricht 171
9.1.3 Funktionen der Behandlung von Sachaufgaben 173
9.1.4 Probleme von Lernenden beim Bearbeiten von Sachaufgaben 174
9.2 Hauptschritte einer heuristischen Orientierung zum Bearbeiten von Sachaufgaben 176
9.3 Möglichkeiten zum Erfassen und Analysieren des Sachverhalts 177
9.3.1 Erfassen des Sachverhalts 177
9.3.2 Analysieren des Sachverhalts 180
9.4 Anwenden heuristischer Vorgehensweisen zum Finden von Lösungsideen bei Sachaufgaben 185
9.5 Orientierungen zur Durchführung des Lösungsplans und Kontrolle der Lösung 195
9.5.1 Durchführung des Lösungsplans 195
9.5.2 Kontrolle der Lösung und des Lösungsweges 196
9.5.3 Weitere Probleme 197
10 Lösen problemhafter formaler Bestimmungsaufgaben 199
10.1 Allgemeine Orientierungen 199
10.2 Algorithmisch lösbare Aufgaben zum Reaktivierbaren Wissen und Können 201
10.3 Lösen von formalen Bestimmungsaufgaben, die nicht algorithmisch lösbar sind 205
11 Argumentieren, Begründen und Beweisen 209
11.1 Theoretische und empirische Grundlagen 209
11.1.1 Beweise in der Mathematik 209
11.1.2 Zu den Begriffen Argumentieren, Begründen und Beweisen 210
11.1.3 Beweisleistungen von Lernenden und Lehrenden und mögliche Ursachen 211
11.2 Vorschläge zum Umgang mit Begründungen und Beweisen im Mathematikunterricht 214
11.3 Suchen nach Begründungen 219
11.3.1 Begründungen beim Festigen von Begriffen 220
11.3.2 Begründungen bei Übungen zur Fertigkeitsentwicklung 221
11.3.3 Begründungen beim Bearbeiten von Sachaufgaben 223
11.4 Bearbeiten von Beweisaufgaben 224
11.4.1 Vorbemerkungen 224
11.4.2 Möglichkeiten für nichtdeduktive Argumentationen 227
11.4.3 Heuristische Vorgehensweisen zum Finden eines mathematischen Beweises 229
12 Entwicklung des Wissens und Könnens im Arbeiten mit Zahlen und Größen 237
12.1 Teilprozesse 238
12.2 Arbeiten mit Größen 241
12.3 Arbeiten mit Näherungswerten und sinnvoller Genauigkeit 243
12.4 Lösen von Prozentaufgaben 248
12.4.1 Aspekte des Prozentbegriffs 248
12.4.2 Methoden zum Lösen von Prozentaufgaben 250
12.5 Rechnen mit rationalen Zahlen 252
13 Entwicklung des Wissens und Könnens im Arbeiten mit Variablen, Gleichungen und Ungleichungen 257
13.1 Teilprozesse und Phasen der Entwicklung 258
13.2 Aspekte von Grundbegriffen der Algebra 261
13.3 Inhaltliches Lösen von Gleichungen und Ungleichungen 267
14 Entwicklung des Wissens und Könnens im Arbeiten mit Funktionen 271
14.1 Teilprozesse der Entwicklung 271
14.2 Phasen der Entwicklung des Wissens und Könnens im Arbeiten mit Funktionen 276
14.3 Bedeutungsaspekte des Funktionsbegriffs 280
14.4 Zur Behandlung der Proportionalität 282
14.4.1 Die direkte Proportionalität 282
14.4.2 Zur umgekehrten Proportionalität 285
15 Entwicklung des geometrischen Wissens und Könnens 287
15.1 Teilprozesse und Phasen der Entwicklung 288
15.2 Zum Können im Lösen geometrischer Konstruktionsaufgaben 291
15.3 Zur Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens 298
16 Entwicklung des stochastischen Wissens und Könnens 301
16.1 Teilprozesse der Entwicklung 302
16.2 Prozessbetrachtung stochastischer Erscheinungen 305
16.3 Aspekte des Wahrscheinlichkeitsbegriffs 310
17 Hinweise zur Planung und Gestaltung von Unterrichtsstunden 315
17.1 Hinweise zur Planung von Unterrichtsstunden 315
17.1.1 Generelle Hinweise 315
17.1.2 Heuristische Orientierungen zur Planung einer Unterrichtsstunde 318
17.1.3 Hinweise zur schriftlichen Planung einer Stunde 321
17.2 Erfahrungen mit ersten Unterrichtsversuchen 324
17.2.1 Generelle Erfahrungen 324
17.2.2 Stolpersteine 326
18 Literaturverzeichnis 331
Verzeichnis der Unterrichtsbeispiele 341
Zahlen und Größen 341
Algebra 342
Funktionen 342
Geometrie 343
Stochastik 344
Register 345