Einführung 19

Über dieses Buch 19

Konventionen in diesem Buch 20

Törichte Annahmen über den Leser 20

Aufbau dieses Buches 21

Teil I: Aufstellen, Lösen, Zeichnen 21

Teil II: Die wichtigsten Grundlagen der Trigonometrie 21

Teil III: Analytische Geometrie und die Lösung von Gleichungssystemen 21

Teil IV: Der Teil der Zehn 22

Symbole in diesem Buch 22

Wie es weitergeht 23

Teil I Aufstellen, Lösen, Zeichnen 25

Kapitel 1 Themen aus der Mathematik vor den Grundlagen der Analysis 27

Grundlagen der Analysis: Ein Überblick 27

Zahlengrundlagen (und nein, hier wird nicht gezählt!) 29

Die Vielfalt der Zahlentypen: Begriffe, die Sie kennen sollten 29

Die grundlegenden Operationen für Zahlen 30

Die Eigenschaften von Zahlen: Was Sie sich unbedingt merken sollten! 31

Mathematische Aussagen in sichtbare Form bringen: Spaß mit Graphen 32

Grundlegende Begriffe und Konzepte kennen lernen 32

Graphen für Gleichungen im Vergleich zu Ungleichungen 33

Informationen aus Graphen ablesen 34

Der Umgang mit dem graphischen Taschenrechner 36

Kapitel 2 Reelle Zahlen 39

Ungleichungen lösen 39

Eine kurze Wiederholung zu Ungleichungen 39

Gleichungen und Ungleichungen mit Absolutwerten lösen 40

Lösungen für Ungleichungen unter Verwendung der Intervallnotation ausdrücken 42

Variationen zur Division und Multiplikation: Wurzeln und Exponenten 44

Wurzeln und Exponenten definieren und einander zuordnen 44

Wurzeln als Exponenten umschreiben (oder rationale Exponenten erzeugen) 45

Eine Wurzel aus dem Nenner entfernen: Rationalisieren 46

Kapitel 3 Die Voraussetzung für die Grundlagen der Analysis: Funktionen 49

Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen und ihre Graphen 49

Grundfunktionen (die gebräuchlichsten) und ihre Graphen 50

Quadratische Funktionen 50

Quadratwurzelfunktionen 51

Absolutwertfunktionen 52

Kubikfunktionen 52

Kubikwurzelfunktionen 53

Transformation der Grundgraphen 54

Vertikale Transformationen 55

Horizontale Transformationen 56

Translationen 57

Spiegelungen 59

Kombinationen verschiedener Transformationen (selbst wieder eine Transformation!) 60

Punktweise Transformation von Funktionen 62

Graphen für Funktionen erstellen, die mehrere Regeln verwenden: Stückweise Funktionen 63

Ausgabewerte für rationale Funktionen berechnen 65

Schritt 1: Suche nach vertikalen Asymptoten 65

Schritt 2: Suche nach horizontalen Asymptoten 66

Schritt 3: Schräge Asymptoten suchen 67

Schritt 4: Die x- und y-Schnittpunkte finden 67

Die Ergebnisse umsetzen: Graphen rationaler Funktionen 68

Der Nenner hat den höheren Grad 68

Zähler und Nenner haben denselben Grad 71

Der Zähler hat den höheren Grad 72

Operationen auf Funktionen: Ganz ohne Skalpell 73

Addieren und Subtrahieren 74

Multiplizieren und Dividieren 75

Die Verknüpfung von Funktionen verstehen 76

Anpassung des Definitionsbereichs und des Wertebereichs verknüpfter Funktionen (falls nötig) 76

Wechselspiele mit inversen Funktionen 79

Den Graphen einer Inversen darstellen 79

Invertierung einer Funktion, um ihre Inverse zu finden 81

Eine Inverse überprüfen 81

Kapitel 4 Nullstellen finden und nutzen, um die Graphen von Polynomfunktionen darzustellen 83

Die Bedeutung von Graden und Nullstellen 83

Einen Polynomausdruck faktorisieren 85

Immer der erste Schritt: Die Suche nach einem ggT 86

Bringen Sie Ordnung hinein: Die EAIL-Methode für Trinome 87

Spezielle Polynomtypen erkennen und faktorisieren 89

Gruppieren, um vier oder mehr Terme zu faktorisieren 92

Die Nullstellen einer faktorisierten Gleichung bestimmen 94

Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Quadratformel) - falls nicht faktorisiert werden kann 94

Die Quadratformel anwenden 95

Die quadratische Ergänzung 95

Nicht faktorisierbare Polynome mit einem höheren Grad als 2 auflösen 97

Alle Nullstellen eines Polynoms zählen 97

Die reellen Nullstellen erkennen: Die Vorzeichenregel von Descartes 97

Imaginäre Nullstellen zählen: Der Fundamentalsatz der Algebra 98

Reelle Nullstellen raten und prüfen 100

Und jetzt rückwärts: Mit Hilfe von Lösungen Faktoren finden 106

Graphen von Polynomen zeichnen 107

Wenn alle Nullstellen reelle Zahlen sind 107

Wenn einige (oder alle) der Nullstellen imaginäre Zahlen sind: Alle Techniken kombinieren 110

Kapitel 5 Exponentielle und logarithmische Funktionen 113

Exponentialfunktionen 114

Die wichtigsten Eigenschaften einer Exponentialfunktion 114

Graphendarstellung und Transformation einer Exponentialfunktion 116

Logarithmen: Die Umkehr der Exponentialfunktionen 118

Logarithmen in den Griff kriegen 118

Eigenschaften und Beziehungen von Logarithmen 119

Die Basis eines Logarithmus ändern (wenn es sich um keinen natürlichen oder allgemeinen Logarithmus handelt) 120

Eine Zahl berechnen, deren Logarithmus Sie kennen: Inverse Logarithmen 121

Graphen von Logarithmen 121

Gleichungen mit Exponenten und Logarithmen lösen 125

Die Lösung von Exponentialgleichungen schrittweise erklärt 125

Schritte zur Lösung logarithmischer Gleichungen 127

Textaufgaben mit Exponentialgleichungen lösen 129

Teil II Die Wichtigsten Grundlagen Der Trigonometrie 133

Kapitel 6 Winkel und der Einheitskreis 135

Bogenmaß: Das Basis-Maß in den Grundlagen der Analysis 135

Trigonometrische Verhältnisse: Rechtwinklige Dreiecke einen Schritt weiter führen 136

Einen Sinus schaffen 137

Die Suche nach dem Kosinus 138

Weiter zum Tangens 139

Die Kehrseite: Reziproke trigonometrische Funktionen 140

Die Umkehr: Inverse trigonometrische Funktionen 141

Trigonometrische Verhältnisse und ihr Verhalten in der Koordinatenebene 142

Den Einheitskreis in den Griff bekommen 145

Machen Sie sich mit den gebräuchlichsten Winkeln vertraut 145

Ungebräuchliche Winkel zeichnen 146

Spezielle Winkelverhältnisse 148

Der 45er: 45°-45°-90°-Dreiecke 148

Das alte 30-60: 30°-60°-90°-Dreiecke 149

Zusammenführung von Dreiecken und dem Einheitskreis: Einigkeit macht stark! 150

Die wichtigsten Winkel ohne Winkelmesser korrekt platzieren 151

Werte trigonometrischer Funktionen auf dem Einheitskreis finden 153

Den Referenzwinkel finden, um nach Winkeln auf dem Einheitskreis aufzulösen 158

Nicht nur was für Robin Hood: Bögen erstellen und messen 163

Kapitel 7 Graphen und Transformationen von trigonometrischen Funktionen 165

Grundgraphen für Sinus und Kosinus skizzieren 165

Der Sinus-Graph 166

Der Kosinus-Graph 168

Die Graphen von Tangens und Kotangens 169

Tangens 170

Kotangens 172

Sekans und Kosekans in Bildern 174

Sekans 174

Kosekans 176

Trigonometrische Graphen transformieren 177

An den Graphen von Sinus und Kosinus herumbasteln 178

Änderung der Amplitude 178

Graphen von Tangens und Kotangens anpassen 179

Die Graphen von Sekans und Kosekans transformieren 192

Kapitel 8 Trigonometrische Identitäten: Die Grundlagen 197

Bedenke das Ende: Eine schnelle Einführung in das Thema Identitäten 198

Der Zweck heiligt die Mittel: Grundlegende trigonometrische Identitäten 198

Kehrwert-Identitäten 199

Pythagoräische Identitäten 201

Gerade/Ungerade-Identitäten 204

Kofunktions-Identitäten 205

Periodizitäts-Identitäten 207

Schwierige trigonometrische Beweise: Ein paar Techniken, die Sie kennen sollten 209

Nervtötende Nenner 210

Auf jeder Seite unabhängig arbeiten 213

Kapitel 9 Es geht weiter: Identitäten für Fortgeschrittene! 217

Trigonometrische Funktionen von Summen und Differenzen finden 217

Den Sinus von (a ± b) bestimmen 218

Den Kosinus von (a ± b) berechnen 222

Den Tangens von (a ± b) berechnen 224

Die Summen- und Differenzformeln auf Beweise anwenden 226

Den trigonometrischen Wert eines Winkels verdoppeln, ohne den Winkel zu kennen 227

Den Sinus eines verdoppelten Winkels bestimmen 227

Den Kosinus für zwei berechnen 229

Quadrieren Sie Ihre Sorgen weg! 230

Doppelter Spaß mit dem Tangens 231

Trigonometrische Funktionen allgemeiner Winkel, dividiert durch zwei 232

Ausblick auf die Analysis: Von Produkten zu Summen und zurück 234

Produkte als Summen (oder Differenzen) ausdrücken 234

Von Summen (oder Differenzen) zu Produkten 236

Exponenten trigonometrischer Funktionen mit Hilfe der Formeln zur Potenzreduzierung eliminieren 237

Kapitel 10 Schiefe Dreiecke mit dem Sinus- und dem Kosinussatz bestimmen 239

Ein Dreieck mit dem Sinussatz lösen 240

Zwei Winkel sind bekannt 241

Zwei bekannte aufeinander folgende Seitenlängen (SSW) 244

Einem Dreieck mit dem Kosinussatz zu Leibe rücken 250

SSS: Winkel bestimmen, wenn nur die Seiten bekannt sind 251

SWS: Der Winkel in der Mitte (und die beiden Seiten) 253

Das Dreieck durch Berechnung der Fläche bestimmen 255

Fläche anhand von zwei Seiten und einem dazwischen liegenden Winkel bestimmen (für SWS-Szenarien) 255

Die Formel von Heron (für SSS-Szenarien) 255

Teil III Analytische Geometrie und die Lösung von Gleichungssystemen 257

Kapitel 11 Eine neue Denkweise: Komplexe Zahlen und...