Die elementaren Operationen in der Arithmetik bestehen darin, daB man zwei ZaWen a und b in Ubereinstimmung mit einigen wohldefinierten Regeln verkniipft und so eine neue eindeutig bestimmte zaW c erMlt. Nehmen wir zum Beispiel als Verkniipfungsregel die Multiplikation, so schreiben wir c = ab. Wenn a und b gegeben sind, dann kann die zaW c in jedem Fall gefunden werden. Es ist bekannt, daB die Multiplikation von zwei oder mehreren Zahlen gewissen for malen Regeln gehorcht, welche fur aile Produkte gelten, unabhiingig yom spezieilen nume rischen Wert: (Ll) ab = ba; Kommutativgesetz (1. 2) (ab)c = a(bc) Assoziativgesetz (1. 3) la=al=a Die letzte Gleichung hat die Einftihrung eines spezieilen Elementes, des Einselementes, zur Folge. Das zweite Gesetz lautet ausftihrlicher: wenn wir ab = s und bc = t setzen, dann gilt immer sc = at. In der axiomatischen Behandlung der Arithmetik ist es iiblich, zuerst die Axiome oder Postulate etwa solche wie (1. 1), (1. 2) und (1. 3) festzulegen, sowie auch gewisse andere Ver fahrensregeln beziiglich der Addition oder der Multiplikation einzuftihren, und man leitet davon dann die logischen Folgerungen abo Es ist dabei am Anfang unwesentlich, ob die Symbole a, b, . . . ZaWen, wie wir sie im iiblichen Sinne verstehen darstellen, oder etwa an dere mathematische Gr6Ben, ja man verzichtet oft auf eine konkrete Interpretation. Es sind auch zaWreiche axiomatische Systeme im logischen Sinne m6glich, jedoch sind diese nicht alle in gleicher Weise interessant oder wichtig.
Die elementaren Operationen in der Arithmetik bestehen darin, daB man zwei ZaWen a und b in Ubereinstimmung mit einigen wohldefinierten Regeln verkniipft und so eine neue eindeutig bestimmte zaW c erMlt. Nehmen wir zum Beispiel als Verkniipfungsregel die Multiplikation, so schreiben wir c = ab. Wenn a und b gegeben sind, dann kann die zaW c in jedem Fall gefunden werden. Es ist bekannt, daB die Multiplikation von zwei oder mehreren Zahlen gewissen for malen Regeln gehorcht, welche fur aile Produkte gelten, unabhiingig yom spezieilen nume rischen Wert: (Ll) ab = ba; Kommutativgesetz (1. 2) (ab)c = a(bc) Assoziativgesetz (1. 3) la=al=a Die letzte Gleichung hat die Einftihrung eines spezieilen Elementes, des Einselementes, zur Folge. Das zweite Gesetz lautet ausftihrlicher: wenn wir ab = s und bc = t setzen, dann gilt immer sc = at. In der axiomatischen Behandlung der Arithmetik ist es iiblich, zuerst die Axiome oder Postulate etwa solche wie (1. 1), (1. 2) und (1. 3) festzulegen, sowie auch gewisse andere Ver fahrensregeln beziiglich der Addition oder der Multiplikation einzuftihren, und man leitet davon dann die logischen Folgerungen abo Es ist dabei am Anfang unwesentlich, ob die Symbole a, b, . . . ZaWen, wie wir sie im iiblichen Sinne verstehen darstellen, oder etwa an dere mathematische Gr6Ben, ja man verzichtet oft auf eine konkrete Interpretation. Es sind auch zaWreiche axiomatische Systeme im logischen Sinne m6glich, jedoch sind diese nicht alle in gleicher Weise interessant oder wichtig.
Inhaltsverzeichnis
I. Gruppen.- 1. Einleitung.- 2. Die Axiome der Gruppentheorie.- 3. Beispiele von Gruppen.- 4. Die Multiplikationstabelle.- 5. Zyklische Gruppen.- 6. Abbildungen von Mengen.- 7. Permutationen.- II. Untergruppen.- 8. Teilmengen.- 9. Untergruppen.- 10. Nebenklassen.- 11. Untergruppen einer zyklischen Gruppe.- 12. Durchschnitt und Erzeugung von Untergruppen.- 13. Das direkte Produkt.- 14. Überblick über alle Gruppen bis zur Ordnung 8.- 15. Der Produktsatz.- 16. Doppelte Nebenklassen.- III. Normalteiler.- 17. Konjugierte Elemente.- 18. Das Zentrum.- 19. Normalteiler.- 20. Quotientengruppen (Faktorgruppen).- 21. Homomorphismen.- 22. Untergruppen von Quotientengruppen.- 23. Die Kommutatorgruppe.- 24. Automorphismen.- IV. Endlich erzeugte abelsche Gruppen.- 25. Vorbereitungen.- 26. Endlich erzeugte freie abelsche Gruppen.- 27. Endlich erzeugte abelsche Gruppen.- 28. Invarianten und Elementarteiler.- 29. Praktische Berechnung der Zerlegung.- V. Erzeugende und Relationen.- 30. Endlich erzeugte Gruppen mit endlich vielen Relationen.- 31. Freie Gruppen.- 32. Relationen.- 33. Definition einer Gruppe.- VI. Reihen von Untergruppen.- 34. Reihen von Untergruppen.- 35. Der Satz von Jordan-Hölder.- 36. Auflösbare Gruppen.- 37. Kommutatorreihen.- 38. Nilpotente Gruppen.- VII. Permutationsgruppen.- 39. Die Kojungiertenklassen von Sn.- 40. Transpositionen.- 41. Die alternierende Gruppe.- 42. Darstellung durch Permutationen.- 43. Transitive Gruppen.- 44. Einfache Gruppen.- 45. Symmetriegruppen.- VIII. Sylow-Theoreme.- 46. p-Untergruppen.- 47. Die Sätze von Sylow.- 48. Anwendungen und Beispiele.- Lösung der Übungsaufgaben.- Literatur.- Sachwortverzeichnis.
