Vorbemerkungen.- Erstes Kapitel Vorbereitungen.- § 1. Das Zahlenkontinuum Das System der rationalen Zahlen und die Notwendigkeit seiner Er- weiterung S. 3. ¿ Das. Kontinuum der reellen Zahlen und unendliche Dezimalbrüche S. 6. ¿ Ungleichungen S. 8..- § 2. Der Funktionsbegriff Beispiele S. 9. ¿ Begriffliche Formulierung S. 10 ¿ Geometrische Dar- stellung. Stetigkeit. Monotone Funktionen S. 11 ¿ Umkehrfunktionen S.15..- § 3. Nähere Betrachtung der elementaren Funktionen Die rationalen Funktionen S. 16 ¿ Algebraische Funktionen S. 18 ¿ Die trigonometrischen Funktionen S. 19. ¿ Exponentialfunktion und Logarithmus S. 20..- § 4. Funktionen einer ganzzahligen Veränderlichen¿Zahlenfolgen¿Vol- ständige Induktion Definition und Beispiele S. 21 ¿ Das Prinzip der vollständigen Induk- tion S. 22 ¿ Beispiel: Die Summe der ersten n Quadrate S. 24..- § 5. Der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Beispiele $${a_n} = {1 \over n}$$ S.25. ¿ $${a_{2m}} = {1 \over m}$$; $${a_{2m - 1}} = {1 \over {2m}}$$ S. 26. ¿ $${a_n} = {n \over {n + 1}}$$ S. 27. ¿ $${a_n} = \root n \of p $$ S. 27. ¿ $${a_n} = {\alpha ^n}$$ S. 29 ¿ Zur geometrischen Ver- anschaulichung der Grenzwerte von ?n und $$\root n \of p $$ S. 30 ¿ Die geometrische Reihe S. 31. ¿ $${a_n} = \root n \of n $$ S. 32. ¿ $${a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n $$ S. 32. ¿ $${a_n} = {n \over {{a_n}}}$$ S.33..- § 6. Genauere Erörterung des Grenzwertbegriffes Definition der Konvergenz S. 33 ¿ Zweite Definition der Konvergenz S. 35 ¿ Monotone Folgen S. 36 ¿Rechnen mit Grenzwerten S. 37 ¿ Die Zahl e S. 38 ¿ Beweis der Irrationalität von e. S. 40 ¿ Die Zahl ? als Grenzwert S. 40 ¿ Das arithmetisch-geometrische Mittel S. 41 ¿ Motivierung der präzisen Grenzwertdefinition S. 42..- § 7. Der Begriff des Grenzwertes bei stetigen Veränderlichen Definitionen und Beispiele S. 43 ¿ Motivierung der Begriffsbildung S.45..- § 8. Der Begriff der Stetigkeit Definitionen S. 47 ¿ Unstetigkeitspunkte S. 48 ¿ Sätze über stetige Funktionen S. 52..- Anhang I zum ersten Kapitel Vorbemerkungen.- § 1. Das Häufungsstellen-Prinzip und seine Anwendungen Das Häufungsstellen-Prinzip S. 54 ¿ Intervallschachtelung und Zahlen- kontinuum S. 55 ¿ Grenzwerte von Zahlenfolgen S. 56 ¿ Beweis des CAUCHYSchen Konvergenzkriteriums S. 58 ¿ Oberer und unterer Häu- fungspunkt, obere und untere Grenze einer Zahlenmenge S. 59..- § 2. Sätze über stetige Funktionen Grö?ter und kleinster Wert stetiger Funktionen S. 60 ¿ Die Gleich- mä?igkeit der Stetigkeit S. 61 ¿ Der Zwischenwertsatz S. 63 ¿ Umkehrung einer stetigen monotonen Funktion S. 64 ¿ Weitere Sätze über stetige Funktionen S. 65..- § 3. Bemerkungen über die elementaren Funktionen.- Anhang II zum ersten Kapitel.- § 1. Polarkoordinaten.- § 2. Bemerkungen über komplexe Zahlen.- Zweites Kapitel Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung.- § 1. Das bestimmte Integral Das Integral als Flächeninhalt S. 71 ¿ Die analytische Definition des Integrales S. 72 ¿ Ergänzungen, Bezeichnungen und Grundregeln für das bestimmte Integral S. 74..- § 2. Beispiele Erstes Beispiel S. 76 ¿ Zweites Beispiel S. 77 ¿ Integration von x? bei beliebigem positiven ganzzahligen ? S. 78 ¿ Integration von x? für beliebiges rationales ? ?¿1 S. 79 ¿ Integration von sin x und cos x S. 80..- §3. Die Ableitung oder der Differentialquotient Differentialquotient und Kurventangente S. 82 ¿ Der Differentialquotient als Geschwindigkeit S. 85.¿Beispiele S. 86 ¿ Einige Grundregeln für die Differentiation S. 89.¿Differenzierbarkeit und Stetigkeit der Funktionen S. 89 ¿ Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung S. 91 ¿ Differentialquotienten und Differenzenquotienten; Bezeichnungen von LEIBNIZ S. 92 ¿ Der Mittelwertsatz S. 94 ¿ Angenäherte Darstellung beliebiger Funktionen durch lineare ¿ Differentiale S. 97 ¿ Be- merkungen über die Anwendungen unserer Begriffe in der Naturwissen- schaft S. 98..- § 4. Das unbestimmte Integral, die primitive Funktion und die Fundamentalsätze der Differential- und Integralrechnung Das Integral als Funktion der oberen Grenze S. 100 ¿ Der Differentialquotient des unbestimmten Integrales S. 101 ¿ Die primitive Funktion (Stammfunktion); allgemeine Definition des unbestimmten Integrales S. 103 ¿ Die Verwendung der primitiven Funktion zur Ausführung bestimmter Integrale S. 106 ¿ Einige Beispiele S. 107..- § 5. Einfachste Methoden zur graphischen Integration.- § 6. Weitere Bemerkungen über den Zusammenhang zwischen dem Integral und dem Differentialquotienten Die Massen Verteilung und Dichte; Gesamtquantität und spezifische Quantität S. 110 ¿ Gesichtspunkte der Anwendungen S. 112..- §7. Integralabschätzungen und Mittelwertsatz der Integralrechnung. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung S. 114 ¿ Anwendung: Integration und Differentiation von x? S. 117..- Anhang zum zweiten Kapitel.- § 1. Die Existenz des bestimmten Integrales einer stetigen Funktion.- § 2. Zusammenhang des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Drittes Kapitel Differential- und Integralrechnung der elementaren Funktionen.- § 1. Die einfachsten Differentiationsregeln und ihre Anwendungen Differentiationsregeln S. 122 ¿ Differentiation der rationalen Funktionen S. 124 ¿ Differentiation der trigonometrischen Funktionen S. 125..- § 2. Die entsprechenden Integralformeln Allgemeine Integrationsregeln S. 126 ¿ Integration der einfachsten Funktionen S. 127..- § 3. Die Umkehrfunktion und ihr Differentialquotient Die allgemeine Differentiationsformel S. 128 ¿ Die Umkehrfunktionen der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen S. 130 ¿ Die zugehörigen Integralformeln S. 134..- § 4. Die Differentiation der zusammengesetzten Funktionen Die Kettenregel S. 135 ¿ Beispiele S. 137 ¿ Nochmals Integration und Differentiation von x? für irrationales ? S. 138..- § 5. Maxima und Minima Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitungen (Konvexität) S. 140 ¿ Maxima und Minima S. 141 ¿ Beispiele für Maxima und Minima S. 144..- § 6. Logarithmus und Exponentialfunktion Definition des Logarithmus. Differentiationsformel S. 148 ¿ Das Additionstheorem S. 150 ¿ Monotoner Charakter und Wertevorrat des Logarithmus S. 151 ¿ Die Umkehrfunktion des Logarithmus (Exponentialfunktion) S. 151 ¿ Die allgemeine Exponentialfunktion ?x und die allgemeine Potenz x? S. 153 ¿ Exponentialfunktion und Logarithmus dargestellt durch Grenzwerte S. 154 ¿ Schlu?bemerkungen S. 156..- § 7. Einige Anwendungen der Exponentialfunktion Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differentialgleichung S. 157 ¿ Stetige Verzinsung. Radioaktiver Zerfall S. 158. ¿ Abkühlung oder Erwärmung eines Körpers in einem umgebenden Medium S. 159 ¿ Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe über dem Erdboden S. 160 ¿ Verlauf chemischer Reaktionen S. 161 ¿ Ein- und Ausschalten eines elektrischen Stromes S. 162..- § 8. Die Hyperbelfunktionen Analytische Definition S. 163 ¿ Additionstheoreme und Differentiationsformeln S. 164.¿Die Umkehrfunktionen S. 165.¿Weitere Analogien S. 166..- § 9. Die Grö?enordnung von Funktionen Begriff der Grö?enordnung. Einfachste Fälle S. 168 ¿ Die Grö?enordnung der Exponentialfunktion und des Logarithmus S. 169.¿Allgemeine Bemerkungen S. 171 ¿ Die Grö?enordnung einer Funktion in der Umgebung eines beliebigen Punktes S. 171 ¿ Grö?enordnung des Verschwindens einer Funktion S. 172..- Anhang zum dritten Kapitel.- § 1. Betrachtung einiger spezieller Funktionen Die Funktion $$y = {e^{ - {1 \over {{x^2}}}}}$$ S. 173. ¿Die Funktion $$y = {e^{ - {1 \over x}}}$$. 174. ¿ Die Funktion $$y = {L_g}{1 \over x}$$ S. 174. ¿Die Funktion $$y = x{L_g}{1 \over x}$$ S. 175. ¿ Die Funktion $$y = x\sin {1 \over x}$$; y(0) = 0 S. 176..- §2. Bemerkungen über die Differenzierbarkeit von Funktionen.- §3. Verschiedene Einzelheiten Beweis des binomischen Satzes S. 177 ¿ Fortgesetzte Differentiation S. 178 ¿ Weitere Beispiele für Anwendung der Kettenregel. Verallgemeinerter Mittelwertsatz S. 179..- Viertes Kapitel Weiterer Ausbau der Integralrechnung.- § 1. Zusammenstellung der elementaren Integrale.- § 2. Die Substitutionsregel Die Substitutionsformel S. 182 ¿ Neuer Beweis der Substitutionsformel S. 186 ¿ Beispiele. Integrationsformeln S. 187..- § 3. Weitere Beispiele zur Substitutionsmethode.- § 4. Die Produktintegration Allgemeines S. 191 ¿ Beispiele S. 193 ¿ Rekursionsformeln S. 194. ¿ Die WALLissche Produktzerlegung von ? S. 195..- § 5. Integration der rationalen Funktionen Aufstellung der Grundtypen S. 198 ¿ Integration der Grundtypen S. 199 ¿ Die Partialbruchzerlegung S. 200 ¿ Beispiel. Chemische Reaktionen S. 202 ¿ Weitere Beispiele für Partialbruchzerlegung. (Methode der unbestimmten Koeffizienten) S. 203..- § 6. Integration einiger anderer Funktionenklassen Vorbemerkungen über die rationale Darstellung der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen S. 205.¿Integration von R(cos x, sin x) S. 207 ¿ Integration von $$R\left( {a\,{\rm{of}}\,x,\,\sin x} \right)$$ S. 207 ¿ Integration von R($$x,\,\sqrt {1 - {x^2}} $$) S. 207 ¿ Integration von R($$x,\,\sqrt {{x^2} - 1}$$) S. 208 ¿ Integration von R ($$x,\,\sqrt {{x^2} + 1}$$) S. 208 ¿ Integration von R ($$x,\,\sqrt {a{x^2} + 2bx + c} $$) S. 208 ¿ Weitere Beispiele für Zurückführung auf Integrale rationaler Funktionen S. 209 ¿ Bemerkungen zu den Beispielen S. 210..- § 7. Bemerkungen über Funktionen, die sich nicht mittels der elementaren Funktionen integrieren lassen Definition von Funktionen durch Integrale. Elliptische Integrale S. 211. ¿ Grundsätzliches über Differentiation und Integration S. 213..- § 8. Erweiterung des Integralbegriffes. Uneigentliche Integrale Funktionen mit Sprungstellen S. 214 ¿ Funktionen mit Unendlichkeitsstellen S. 214 ¿ Unendliches Integrationsintervall S. 217..- Anhang zum vierten Kapitel.- Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung..- Fünftes Kapitel Anwendungen.- § 1. Darstellung von Kurven Die Parameterdarstellung S. 223¿Die zu einer Kurve gehörigen Differentialquotienten bei Parameterdarstellung S. 226 ¿ übergang zu neuen Koordinatensystemen bei...