Über den Autor 7

Danksagung 7

Einleitung 19

Zu diesem Buch 19

Konventionen in diesem Buch 20

Törichte Annahmen über den Leser 20

Wie dieses Buch aufgebaut ist 21

Teil I: Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure 21

Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis 21

Teil III: Gewöhnliche Differentialgleichungen 22

Teil IV: Funktionentheorie 22

Teil V: Der Top-Ten-Teil 23

Symbole in diesem Buch 23

Wie es weitergeht 24

Teil I: Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure 25

Kapitel 1 Was bisher geschah 27

Grundlagen aus der linearen Algebra 27

Vektor- und Matrizenrechnung 28

Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren 31

Eigenwerte, Eigenvektoren und die Definitheit von Matrizen 36

Eindimensionale Analysis 37

Folgen, Häufungspunkte und Grenzwerte 38

Grenzwerte reellwertiger Funktionen und Stetigkeit 41

Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion 43

Integration 47

Kapitel 2 Grundlagen der Differentialrechnung im ¿¿51

Unsere Welt ist mehrdimensional 51

Viele Variablen und ein Funktionswert 52

Einmal sehen ist besser als hundertmal hören: Graphische Darstellung 53

Viele Wege führen dahin: Stetigkeit 56

Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen 58

Ableiten bis zum Abwinken: Totale Differenzierbarkeit 59

Nur einen Teil: Die partielle Ableitung 59

Totale Differenzierbarkeit 63

Was heißt das denn? Charakterisierungen der Differenzierbarkeit 64

Praktische Berechnung der totalen Ableitung 68

Richtungsableitungen 71

Und weiter so! Ableitungen höherer Ordnung 72

In eine Richtung: Partielle Ableitungen höherer Ordnung 72

Vorsicht: Vertauschen partieller Ableitungen geht nicht immer! 74

Kapitel 3 Darf's noch etwas mehr sein? Mehr Differentialrechnung 77

Die Kettenregel, eine alte Bekannte 78

Eindimensionales in höherdimensionalen Räumen: Kurven 78

Achtung, Schleudergefahr: Ableitung entlang einer Kurve 79

Und nun überall: Die Kettenregel bei Koordinatentransformationen 81

Kettenregel kurz und knapp mit der Jacobi-Matrix 84

In voller Pracht: Die Formel für die allgemeine Kettenregel 85

Höhere Ableitungen, Differentialoperatoren und mathematische Schreibfaulheit 87

Zweite Ableitungen sammeln: Hesse-Matrix 87

Div, rot, grad und der Laplace-Operator 88

Der Mittelwertsatz 90

Der Mittelwertsatz im Mehrdimensionalen 90

Kapitel 4 Erste Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung 93

Die Taylorsche Formel 94

Beispielhaft zweidimensionale Funktionen approximieren 94

Einige Spezialfälle zur Taylorschen Formel 95

Das Newton-Verfahren 97

Das eindimensionale Newton-Verfahren 97

Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall 104

Von hinten durch die Brust ins Auge: Implizite Funktionen 107

Implizite Funktionen im Eindimensionalen 108

Mehrdimensionale implizite Funktionen 111

Kapitel 5 Optimierung 115

Berggipfel und tiefste Schluchten: Extremstellen 115

Höher als die Umgebung? Oder am allerhöchsten? 116

Weniger geht nicht: Unrestringierte Optimierung 116

Kritisch! Eine notwendige Bedingung für lokale Extrema 117

Stationäre Punkte und Tangentialebenen 118

Ganz sicher: Hinreichende Optimalitätsbedingung 120

Informationen durch die Hesse-Matrix: Höhen, Tiefen und Sattelpunkte 120

Und wie ist's denn nun? Ein einfacher Positivitätstest 122

Restringierte Optimierung 124

Die Sache mit den Nebenbedingungen 124

Direkt zum Ziel: Die explizite Methode 125

Der indirekte Weg: Lagrange-Multiplikatoren 128

Problemvergrößerung erleichtert die Lösung 130

Jetzt schreckt nichts mehr: Mehrere Nebenbedingungen 134

Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis 135

Kapitel 6 Integralrechnung in zwei oder drei Dimensionen 137

Bauklötzchen oder: Die zweidimensionale Integration 138

Wir basteln uns ein Integral 139

Messbare Mengen und Flächeninhalt 141

Flächeninhalt durch Integration berechnen 143

Projizierbare Mengen 143

Zweimal eins ist zwei 146

Integralberechnung ganz praktisch: Beispiele 146

Die zweidimensionale Substitutionsregel 149

Rundes gerade biegen: Polarkoordinaten 151

Im Raum geht das auch: Dreidimensionale Integration 155

Dreidimensionale Projizierbarkeiten 156

Drei Integrationen zur dreidimensionalen Integration 157

Krumme Volumina und Integration im Raum 159

Substitutionsregel dreidimensional 161

Etwas Physik: Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmomente 166

Kapitel 7 Fäden durch den Raum: Kurvenintegrale 171

Punkte und Kurven im dreidimensionalen Raum 171

Wandern mathematisch: Wege und Kurven im ¿3 172

Differenzierbare Wege oder Geschwindigkeit! 173

Kurven mit und ohne Ecken! 174

Eine Fahrschule: Rechenregeln für differenzierbare Wege 175

Orientierungslos im Raum: Kurvenintegrale über Skalarfelder 177

Kurvenintegrale ohne Orientierung 178

Dieselbe Kurve - Unabhängigkeit von der Parametrisierung 180

Drahtspiele: Bogenlänge, Masse und Schwerpunkt 180

Orientierte Kurvenintegrale 184

Da entlang: Kurven mit Richtung 184

Einbahnstraße: Der Tangenteneinheitsvektor 184

Der Weg ist das Ziel: Orientierung und Parametrisierung 186

Viele, viele Pfeile: Vektorfelder 187

Arbeit ist - ein orientiertes Kurvenintegral! 187

Da könnte doch etwas sein: Potentialfelder 190

Gibt es Stammfunktionen für Vektorfelder? 191

Stammtischfähig: Konservative Vektorfelder 192

Integrieren kann so schön sein: Der erste Hauptsatz für Kurvenintegrale 193

Kurvenintegrale über Potentialfelder sind wegunabhängig! 194

Integrabilitätsbedingungen oder: Der zweite Hauptsatz 196

Das Potential ausschöpfen: Berechnung einer Stammfunktion 198

Kapitel 8 Eine Dimension nach oben: Flächenintegrale 203

Flächen im dreidimensionalen Raum 203

Mathematische Darstellungen von Flächen im Raum 203

Voll normal: Reguläre Bereiche 206

Nur nicht ausrutschen! Glatte Flächen 208

Koordinatensysteme auf glatten Flächen 210

Flächen mit Knick: Stückweise glatt 211

Jede Menge parametrisierter Flächen: Beispiele 212

Wie groß ist eine gebogene Fläche? 216

Viele kleine Plättchen: Auf dem Weg zum Flächeninhalt 217

Eine Formel für den Flächeninhalt 219

Jede Menge Inhalt: Formeln für bestimmte Flächeninhalte 220

Flächenintegrale mit und ohne Orientierung 222

Skalarfelder auf Flächen: Orientierungslos 222

Mit Orientierung: Vektorfelder über Flächen integrieren 223

Alles fließt: Eine physikalische Deutung 224

Kapitel 9 Die hohe Kunst der Vektoranalysis: Integralsätze 227

Differentialoperatoren und Integralrechnung 228

Differentialoperatoren: Laplace-Operator, Divergenz und Rotation 228

Operatoroperationen mit dem Nabla-Operator 230

Es wirbelt herum: Rotation und Potentialfelder 231

Rechenregeln zu Rotation, Divergenz und Gradient 235

Noch mehr Rechenregeln 236

Harmonie unter Funktionen 238

Der Gaußsche Integralsatz 238

Oben und unten: Orientierung glatter Flächen 239

Quellen, Senken und der Fluss durch die Oberfläche 241

Die Sätze von Kelvin-Stokes und Green 244

Der Greensche Integralsatz 247

Teil III: Gewöhnliche Differentialgleichungen 249

Kapitel 10 Es ändert sich: Wie funktioniert's? Grundlegende Fragestellung bei Differentialgleichungen 251

Was sind Differentialgleichungen? 251

Gewöhnlich oder partiell: Definitionen 251

Vom Pendel zum Räuber-Beute-Modell: Überall Differentialgleichungen 252

Ordnung muss sein: Die allgemeine Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung 254

Gibt's das und, wenn ja, wie viele? Existenz und Eindeutigkeit 255

Langsam anfangen: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung 256

Am Anfang der Anfangswert und dann? Anfangswertprobleme 257

Das gibt's! Der Satz von Picard-Lindelöf 258

Graphische Veranschaulichungen 262

Das Richtungsfeld 262

Nicht aus 'Star Trek': Die Isoklinen 263

Kapitel 11 Kochrezepte: Explizite Lösungsmethoden für spezielle gewöhnliche Differentialgleichungen 265

Die exakte Differentialgleichung 266

Was eine Differentialgleichung exakt macht: Die Potentialfunktion! 266

Wieder einmal: Konservative Vektorfelder 267

Implizite Lösungen einer exakten Differentialgleichung 268

Unpassendes passend machen: Integrierende Faktoren 271

Separable Differentialgleichungen 273

Oh, das ist ja exakt! 273

Ähnlich die Ähnlichkeits-Differentialgleichungen! 275

Lineare Differentialgleichungen 277

Kapitel 12 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 283

Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung 283

Alles in einem: Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung 284

Funktionale Vektoren oder: Lineare Algebra im Funktionenraum 285

Lineare Unabhängigkeit von Funktionen 285

Ein grundlegender Ableitungsoperator 287

Jede lineare Differentialgleichung hat ihren eigenen Operator 288

Die homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung 289

Rückkehr der Kerne: Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung 289

Ganz grundlegend: Das...