Winfried Kaballo lehrt als Professor an der Fakultät für Mathematik der TU Dortmund mit Schwerpunkt Analysis, insbesondere Funktionalanalysis.

In diesem Buch finden Sie eine Einführung in die Funktionalanalysis und Operatortheorie auf dem Niveau eines Master-Studiengangs.

Ausgehend von Fragen zu partiellen Differenzialgleichungen und Integralgleichungen untersuchen Sie lineare Gleichungen im Hinblick auf Existenz und Struktur von Lösungen sowie deren Abhängigkeit von Parametern. Dazu lernen Sie verschiedene Konzepte und Methoden kennen, z.B. Distributionen, Fourier-Transformation, Sobolev-Räume, Banachalgebren, Fredholmoperatoren, Funktionalkalküle und selbstadjungierte Operatoren.

Das Buch ist ausführlich geschrieben, die Inhalte werden durch Abbildungen und viele Beispiele illustriert. Zahlreiche Übungsaufgaben (mit Lösungen) erleichtern das Verständnis des Stoffes.

Vorwort.- Einleitung.- I Distributionen und Differentialoperatoren.- 1 Frécheträume.- 1.1 Konvergenzbegriffe und Funktionenräume.- 1.2 Halbnormen und lokalkonvexe Topologien.- 1.3 Stetige lineare Abbildungen und Isomorphien.- 1.4 Prinzipien der Funktionalanalysis.- 1.5 Aufgaben.- 2 Distributionen.- 2.1 Testfunktionen.- 2.2 Schwache Ableitungen und Distributionen.- 2.3 Träger von Distributionen.- 2.4 Tensorprodukte von Distributionen.- 2.5 Faltung von Distributionen.- 2.6 Aufgaben.- 3 Fourier-Transformation.- 3.1 Schnell fallende Funktionen.- 3.2 Hermite-Funktionen.- 3.3 Temperierte Distributionen.- 3.4 Holomorphe Fourier-Transformierte.- 3.5 Aufgaben.- 4 Sobolev-Räume.- 4.1 Approximationssätze.- 4.2 Sobolev-Hilberträume.- 4.3 Einbettungssätze.- 4.4 Fortsetzungsoperatoren.- 4.5 Spuroperatoren.- 4.6 Aufgaben.- 5 Differentialoperatoren.- 5.1 Die Wärmeleitungsgleichung auf Rn.- 5.2 Beispiele von Fundamentallösungen.- 5.3 Der Satz von Malgrange-Ehrenpreis.- 5.4 Elliptische und hypoelliptische Differentialoperatoren.- 5.5 Aufgaben.- II Lokalkonvexe Räume und lineare Operatoren.- 6 Topologische Vektorräume.- 6.1 Lineare Topologien.- 6.2 Lokalbeschränkte Räume und Quasi-Normen.- 6.3 Aufgaben.- 7 Lokalkonvexe Räume.- 7.1 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.- 7.2 Projektive Topologien.- 7.3 Induktive lokalkonvexe Topologien.- 7.4 (LF)-Räume.- 7.5 Gewebe und der Satz vom abgeschlossenen Graphen.- 7.6 Aufgaben.- 8 Dualität.- 8.1 Polare lokalkonvexe Topologien.- 8.2 Reflexive Räume.- 8.3 (DF)-Räume.- 8.4 Exakte Sequenzen.- 8.5 Kompakte konvexe Mengen.- 8.6 Aufgaben.- 9 Lösung linearer Gleichungen.- 9.1 Abgeschlossene Operatoren und duale Operatoren.- 9.2 Surjektive und normal auflösbare Operatoren.- 9.3 Globale Lösbarkeit linearer Differentialgleichungen.- 9.4 Stetige lineare Lösungsoperatoren und Projektionen.- 9.5 Fortsetzung und Lifting linearer Operatoren.- 9.6 Stetige Lösungsoperatoren.- 9.7 Aufgaben.- 10 Vektorfunktionen und Tensorprodukte.- 10.1 Funktionenräume und ¿-Produkte.- 10.2 ¿-Produkte linearer Operatoren.- 10.3 Holomorphe Vektorfunktionen.- 10.4 ¿-Tensorprodukte und Approximationseigenschaft.- 10.5 ¿-Tensorprodukte und Bochner-Integrale.- 10.6 Aufgaben.- 11 Operatorideale und nukleare Räume.- 11.1 Approximationszahlen und Integraloperatoren.- 11.2 Nukleare Operatoren.- 11.3 Spuren.- 11.4 Nukleare Räume.- 11.5 Schnell fallende Folgen.- 11.6 Aufgaben.- 12 Exakte Sequenzen und Tensorprodukte.- 12.1 L¿ -Räume und Lifting-Sätze.- 12.2 ¿-Sequenzen.- 12.3 Holomorphe Funktionen mit Randbedingungen.- 12.4 Die Eigenschaften (DN) und (¿).- 12.5 Ein Splitting-Satz.- 12.6 Unterräume und Quotientenräume von s.- 12.7 Aufgaben.- III Spektraltheorie linearer Operatoren.- 13 Banachalgebren.- 13.1 Grundlagen.- 13.2 Der analytische Funktionalkalkül.- 13.3 Gelfand-Theorie.- 13.4 Uniforme Algebren und gemeinsame Spektren.- 13.5 Einseitige Ideale und Operatorfunktionen.- 13.6 Aufgaben.- 14 Fredholmoperatoren und kompakte Operatoren.- 14.1 Semi-Fredholmoperatoren und Störungssätze.- 14.2 Singuläre Integraloperatoren.- 14.3 Inversion holomorpher Fredholm-Funktionen.- 14.4 Spektralprojektionen.- 14.5 Die Weylsche Ungleichung.- 14.6 Invariante Unterräume.- 14.7 Aufgaben.- 15 C*-Algebren und normale Operatoren.- 15.1 C*-Algebren.- 15.2 Der stetige Funktionalkalkül.- 15.3 *-Darstellungen und beschränkter Borel-Funktionalkalkül.- 15.4 Spektralmaße und -integrale.- 15.5 Spektraltheorie normaler Operatoren.- 15.6 Aufgaben.- 16 Selbstadjungierte Operatoren.- 16.1 Spektralsatz und unbeschränkter Borel-Funktionalkalkül.- 16.2 Spektren selbstadjungierter Operatoren.- 16.3 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik.- 16.4 Erweiterung symmetrischer Operatoren.- 16.5 Halbbeschränkte Operatoren.- 16.6 Störungen selbstadjungierter Operatoren.- 16.7 Aufgaben.